Володя, Коля и Миша строят плот для переправы через реку. Володя и Коля, работая вместе, построили бы плот за 60 часов, а Миша и Коля, работая вместе, построили этот же плот за 40 часов. За сколько минут три мальчика построили бы плот, работая втроём, если Володя и Миша, работая вдвоём, построили бы плот за 30 часов?

1 способ. По действиям.

Весь объем работы (плот) = 1 (целая)

1) 1 : 60 = ¹/₆₀ (объема/час) производительность Володи и Коли

2) 1 : 40 = ¹/₄₀ (объема/час) производительность Миши и Коли

3) 1 : 30 = ¹/₃₀ (объема/час) производительность Володи и Миши

4) ¹/₆₀ + ¹/₄₀ + ¹/₃₀ = ⁽²⁺³⁺⁴⁾ /₁₂₀ = ⁹/₁₂₀ = ³/₄₀ (объема/час) удвоенная производительность трёх мальчишек при совместной работе

5) ³/₄₀ : 2 = ³/₄₀ * ¹/₂ = ³/₈₀ (объема/час) производительность трёх мальчишек при совместной работе

6) 1 : ³/₈₀ = 1 * ⁸⁰/₃ = 26 ²/₃ ч. = 26 ⁴⁰/₆₀ ч. = 26 ч. 40 мин. = 1600 мин. время на выполнение работы втроём

2 способ. Система уравнений.

Объем работы (забор) = 1 (целая)

Производительность при работе самостоятельно:

Володя х объема работы/минуту

Коля у об. раб./мин.

Миша z об. раб./мин.

Совместная работа:

1) Володя и Коля:

Производительность (х + у) об. раб./мин.

Время работы 60 часов = 3600 мин.

Выполненный объем работы 3600 (х+у) = 1

2) Коля и Миша:

Производительность (у+z) об. раб./мин.

Время работы 40 часов = 2400 мин.

Выполненный объем 2400 (y+z) = 1

3) Володя и Миша:

Производительность (х+z) об. раб./мин.

Время работы 30 часов = 1800 мин.

Выполненный объем 1800 (x+z) = 1

Система уравнений:

{ 3600 (x+y) = 1 { x+y = 1/3600 { x = 1/3600 - y

{ 2400 (y+z) = 1 { y+z = 1/2400 { z = 1/2400 - y

{ 1800 (x+z) = 1 { x+z = 1/1800 {x+z = 1/1800

Метод подстановки:

1/3600 - у + 1/2400 - у = 1/1800

-2 у = 1/1800 - 1/3600 - 1/2400

-2 у = (4 - 2 - 3) / 7200

-2 у = - 1/7200

у = - 1/7200 : (-2) = 1/7200 * 1/2

у = 1/14400 (об. раб./мин.) производительность Коли при работе самостоятельно

х = 1/3600 - 1/14400 = (4-1) / 14400 = 3/14400=1/4800 (об. раб./мин.) производительность Володи при работе самостоятельно

z = 1/2400 - 1/14400 = (6-1) / 14400 = 5/14400 = 1/2880 (об. раб./мин.) производительность Миши при работе самостоятельно

1/14400 + 1/4800 + 1/2880 = (1+3+5) / 14400 = 9/14400 = 1/1600 (об. р./мин.)

производительность Володи, Коли и Миши при совместной работе

1 : 1/1600 = 1 * (1600/1) = 1600 (мин.) время на выполнение работы втроём.

Ответ: за 1600 минут три мальчика построили бы плот, работая втроем.