Даны два квадратных трёхчлена P (x) и Q (x) с целыми коэффициентами. докажите, что существует многочлен R (x) с целыми коэффициентами, степень которого не превосходит 2, такой, что R (8) R (12) R (2017) = P (8) P (12) P (2017) Q (2017) Q (12) Q (8)

Попробуем поискать R (x) в виде R (x) = P (x) Q (x) - S (x) (x - 8) (x - 12) (x - 2017). Очевидно, R (8) = P (8) Q (8), R (12) = P (12) Q (12), R (2017) = P (2017) Q (2017), поэтому R (8) R (12) R (2017) = P (8) P (12) P (2017) Q (2017) Q (12) Q (8).

Осталось подобрать S (x) таким образом, чтобы R (x) был многочленом степени не выше второй.

P (x) = ax^2 + bx + c

Q (x) = dx^2 + ex + f

Положим S (x) = gx + h, найдём g и h.

P (x) Q (x) - S (x) (x - 8) (x - 12) (x - 2017) = (ax^2 + bx + c) (dx^2 + ex + f) - (gx + h) (x - 8) (x - 12) (x - 2017)

Коэффициент при x^4:

ad - g = 0

g = ad

Коэффициент при x^3:

ae + bd - h - 8g - 12g - 2017g = 0

h = ae + bd - 2037g = ae + bd - 2037ad

g и h получились целыми числами, значит, найденный R (x) удовлетоворяет условию.