Для чисел 1,1,2,3,5,8, ... дана следующая формула

Доказать с помощью индукции, что выдает всегда четные числа.

докажем методом математической индукции что

0)

F (3n-2) - нечетное, F (3n-1) - нечетное, F (3n) - четное, - исследуемое утверждение

1)

убедимся что при n=1 верно (0) :

действительно по условию

F (1) = 1 - нечетное, F (2) = 1 - нечетное, F (3) - четное,

2)

предположим что при n = к верно (0) :

F (3n-2) - нечетное, F (3n-1) - нечетное, F (3n) - четное,

а именно

F (3 к-2) - нечетное, F (3k-1) - нечетное, F (3k) - четное,

3)

проверим, или справедливо для n=k+1 утверждение (0) :

так как F (3 к-2) - нечетное, F (3k-1) - нечетное, F (3k) - четное, (см. 2)

то F (3k+1) = F (3k-1) + F (3k) = нечетное+четное=нечетное, (3.1)

то F (3k+2) = F (3k) + F (3k+1) = четное+нечетное=нечетное, (3.2)

то F (3k+3) = F (3k+1) + F (3k+2) = нечетное+нечетное=четное, (3.3)

F (3n-2) = F (3 (к+1) - 2) = F (3 к+3-2) = F (3 к+1) - нечетное, см. (3.1)

F (3n-1) = F (3 (к+1) - 1) = F (3 к+3-1) = F (3 к+2) - нечетное, см. (3.2)

F (3n) = F (3 (к+1)) = F (3 к+3) - нечетное, см. (3.3)

так как для n=k+1 утверждение (0) истинно - значит (0) доказано методом матем индукции