Три сталкера подошли к волшебной тропе длиной 100 м. Известно, что первый пошедший по тропе окаменеет в начале тропы, второй окаменеет в произвольной точке тропы. Оба оживут, если третий окажется в такой точке тропы, что сумма расстояний от него до двоих спутников будет равна 100 м. Докажите, что сталкеры пройдут тропу.

Если тропа 100 метров, значит они пройдут, потому что максимум расстояние 100 метров!

Пусть а - точка, в которой окаменел второй, x - координата третьего.

Тогда сумма расстояний от него до двоих спутников описывается функцией

f (x) = x + |x-a|.

При х = 0 ее значение f (0) = 0 + |0-a| = а <100.

А при х = 100 ее значение f (100) = 100 + |100-a| = 200-а >100

Так как функция непрерывна, то по теореме Больцано-Коши она принимает промежуточное значение, равное 100, между точками х=0 и 100, то есть между началом и концом тропы.