Три сталкера подошли к волшебной тропе длиной 100 м. Известно, что первый пошедший по тропе окаменеет в начале тропы, второй окаменеет в произвольной точке тропы. Оба оживут, если третий окажется в такой точке тропы, что сумма расстояний от него до двоих спутников будет равна 100 м. Докажите, что сталкеры пройдут тропу.

Пусть а - точка, в которой окаменел второй, x - координата третьего.

Тогда сумма расстояний от него до двоих спутников описывается функцией

f (x) = x + |x-a|.

При х = 0 ее значение f (0) = 0 + |0-a| = а <100.

А при х = 100 ее значение f (100) = 100 + |100-a| = 200-а >100

Так как функция непрерывна, то по теореме Больцано-Коши она принимает промежуточное значение, равное 100, между точками х=0 и 100, то есть между началом и концом тропы.

Если тропа 100 метров, значит они пройдут, потому что максимум расстояние 100 метров!