Существует натуральное число, произведение суммы цифр которого на количество цифр равна 2012?

Существует. Разложим 2012 на простые множители: 2012=2*2*503. Отсюда видно, что существует несколько способов составления искомого натурального числа. Оно может, к примеру, состоять из 501-го нуля и двух двоек. Например, 20000 ... 02 или 220000 ... 0 и т. д. Или же состоять из 1005-ти нулей и одной двойки: 20000000 ... 0. Или из 2011-ти нулей и одной единицы, к примеру 100000 ... 0.

Ответ: Существует.