При каких значениях b уравнение (1-3b) x^2 = b+1-4bx

имеет два различных действительных корня?

(1-3b) x² + 4bx - (b+1) = 0

x (1,2) = [ (-4b+/-√ (16b²+4 (1-3b) (b+1)) ]/2 (1-3b)

1) знаменатель не равен нулю:

2 (1-3b) ≠0

b≠1/3, исключаем 1/3

2) дискриминант больше нуля исключает комплексные числа,

дискриминант не равен нулю, иначе корни будут одинаковые

16b²+4 (1-3b) (b+1) = 0, раскрываем скобки, решаем уравнение

b²-2b+1=0

b=1, исключаем 1, b≠1

b∈ (-∞; 1/3), (1/3; 1), (1; + ∞)

при этих значениях b уравнение имеет два разных действительных корня