Докажите что сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1 является составным числом.

сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1

1+3+5+7 + ... + (2n-1) = n^2

Доказательство методом математической индукции

База индукции

n=2. 1+3=2^2

Гипотеза индукции

Пусть для n=k утверждение выполняется, т. е. выполняется

1+3+5+7 + ... + (2k-1) = k^2

Индукционный переход. Докажем, что тогда выполняется утверждение и для n=k+1, т. е, что выполняется

1+3+5+7 + ... + (2k-1) + (2K+1) = (k+1) ^2

1+3+5+7 + ... + (2k-1) + (2K+1) = используем гипотезу МИ=k^2 + (2k+1) = k^2+2k+1=используем формлу квадрату двучлена = (k+1) ^2, что и требовалось доказать.

По методому математической индукции формула справедлива.

Число n^2 при n>1 zвляется составным, оно делится на 1, n, n^2.

А значит сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1 является составным числом. Доказано