В треугольнике KLM вписана окружность, которая касается KL в точке A, а стороны KM в т. B. Найти угол LMK? если BM = 5, AL = 10, а cos LKM = 1/26

Обозначим точку касания на стороне LM буквой С, а отрезок КВ = х.

По свойству вписанной окружности:

KB = KA = x,

BM = CM = 5,

AL = CL = 10.

Отсюда имеем сторону LM = 15.

По теореме косинусов:

cos K = (x+10) ² + (x+5) ²-15² / (2 * (x+10) (x+5) = 1/26 (по заданию).

После раскрытия скобок, приведения подобных и сокращения получаем квадратное уравнение: х²+15 х-54 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=15^2-4*1 * (-54) = 225-4 * (-54) = 225 - (-4*54) = 225 - (-216) = 225+216=441; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1 = (√441-15) / (2*1) = (21-15) / 2=6/2=3; x_2 = (-√441-15) / (2*1) = (-21-15) / 2=-36/2=-18. этот корень отбрасываем.

Теперь известны все стороны треугольника:

KL = 13, LM = 15, KM = 8.

Mожно найти заданный косинус угла LMK.

cos LMK = (15 ²+8²-13²) / (2*15*8) = (225+64-169) / 240 = 120/240 = 1/2.

Угол LMK равен arc cos (1/2) = 60 °.