Задачи на признаки делимости

Задача 1. Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов - простое число. Найдите эти числа. Решение. Обозначим искомые числа через a и b. Тогда a b p 2 2, где p - простое число, т. е. (a b) (a b) p. Поскольку (a b) 101, то 101 (a b) p. Отсюда следует, что p делится на 101, но p - простое, значит p 101. Имеем: a b 1, отсюда a b 1. Так как a b 101, находим, что a 51 и b 50. Ответ: 51 и 50.