Найдите все значения x больше1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел A=log₂x + 21 logx 32 (x снизу) - 2 и B=41 - log₂² x больше 5

A = log_2 (x) + 21*log_x (32) - 2 = log_2 (x) + 21*log_x (2^5) - 2 =

= log_2 (x) + 105*log_x (2) - 2 = log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2

B = 41 - (log_2 (x)) ^2 = 41 - log_2 (x) * log_2 (x)

1) Пусть A > B.

log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2 > 41 - log_2 (x) * log_2 (x)

Замена log_2 (x) = y

Если x > 1, то y = log_2 (x) > 0

y + 105/y - 2 > 41 - y^2

y^2 + y - 43 + 105/y > 0

При умножении на y > 0 знак неравенства не меняется.

y^3 + y^2 - 43y + 105 > 0

F (0) = 105 > 0

Точка минимума

3y^2 + 2y - 43 = 0

D/4 = 1 + 3*43 = 130

y = (-1 + √130) / 3 ~ 3,467; F (y) = 9,61 > 0

Значит, при y > 0 это верно для всех x > 1

Нам надо найти, при каких х будет A > 5

log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2 > 5

Замена log_2 (x) = y

y + 105 / y - 7 > 0

y^2 - 7y + 105 > 0

D = 7^2 - 4*105 < 0

Это тоже верно при любом y.

2) Пусть B > A

log_2 (x) + 105 / log_2 (x) - 2 < 41 - log_2 (x) * log_2 (x)

Решая аналогично, получаем

y^3 + y^2 - 43y + 105 < 0

При y > 0 это неравенство решений не имеет.

Ответ: при любом x > 1