Существуют ли такие значения переменной b при которых значения выражений 7b^2+6, b-7 и - 8-9b^2 обращаются в последовательные члены арифметической прогрессии?

Да, существуют.

Воспользуемся св-вом арифм. прогрессии - половина суммы n-го и n+2 члена равна n+1 члену прогрессии

(7b²+6 + (-8-9b²)) / 2=b-7

b²+b-6=0

решая квадратное ур-е, получаем

b=2; - 3

подставляя эти значения для проверки, убеждаемся, что при этих значениях выражения обращаются в последовательные члены арифметической прогрессии.