Найти сумму цифр числа 2018 в степени 2017, затем сумму цифр от этой суммы и так 4 раза

Nelle987 подала хорошую мысль - посчитать остаток от деления на 9.

Далее все знаки = будут обозначать "имеет такой же остаток от деления на 9"

2018^2017 = 2^2017 = 2*2^2016 = 2 * (2^6) ^336 = 2*64^336 = 2*1^336 = 2

Эта сумма сумм цифр равняется 2.

Добавим, что это число называется цифровой корень.

Может ли эта 4-ая сумма сумм оказаться двузначной, и только 5-ая однозначной?

Допустим, это так. Оценим количество цифр в числе 2018^2017.

Для этого найдем его десятичный логарифм.

lg (2018^2017) = 2017*lg (2018) ≈ 2017*3,305 = 6666,185

Значит, в этом числе всего лишь 6667 цифр. Если даже там все 9, сумма цифр

не более чем 9*6667 = 60003.

Возьмем чуть меньшее число, 59999. Его сумма цифр (вторая) равна

5 + 4*9 = 5 + 36 = 41.

Значит, вторая сумма цифр не более 41. Пусть будет 39.

Тогда третья сумма равна 12, а 4-ая равна 3, то есть однозначная.

Вывод: 4-ая сумма цифр числа 2018^2017 - однозначное число.

Ответ: цифровой корень числа 2018^2017 равен 2.