Если в каждой точке интеграла f (x) >0, то функция на этом интеграле?

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале X = (a, b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f (x) является производной для F (x), т. е ...

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f (x) требуется найти функцию F (x), производная которой равна f (x).

Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10:. Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f (x), рассмотрим Свойства первообразной. Если функция F (x) - первообразная для функции f (x) на интервале X, то функция f (x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f (x) на этом интервале. (Док-во:). Если функция F (x) - некоторая первообразная для функции f (x) на интервале X = (a, b), то любая другая первообразная F1 (x) может быть представлена в виде F1 (x) = F (x) + C, где C - постоянная на X функция.

Док-во. Так как функции F (x) и F1 (x) - первообразные для f (x), то (по теор. 8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) Для любой первообразной F (x) выполняется равенство dF (x) = f (x) dx. Из этих свойств следует, что если F (x) - некоторая первообразная функции f (x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f (x) (т. е. функций, имеющих производную f (x) и дифференциал f (x) dx) на этом интервале описывается выражением F (x) + C, где C - произвольная постоянная.