Стороны прямоугольного треугольника создают арифметическую прогрессию, меньший катет 18 см. Нужно найти, чему равна площадь.

а1, а2, а3 - арифметическая прогрессия

а2=а1+d, a3=a1+2d

а1 и а2 - катеты, а3 - гипотенуза

теорема Пифагора:

а3'2=a1'2+a2'2

(a+2d) '2=a'2 + (a+d) '2

3d'2+2ad-a'2=0

D1=a'2+3a'2=4a'2 = (2a) '2

d1 = (-a-2a) / 3) = - a

d2 = (-a+2a) / 3=1/3a

d=1/3a=>a2=a+1/3a=4/3a, a3=a+2/3a=5/3a

Площадь прямоугольного треугольника

S=1/2*a1*a2=1/2*a*4/3a

S=2/3a'2

S=2/3*18'2=216 см'2

Ответ: 16 см'2

Пусть а₁ и а₂ - катеты; а₃ - гипотенуза;

арифметическая прогрессия: а₁, а₂, а₃

а₂ = а₁ + d, a₃ = a₁ + 2d;

По теореме Пифагора:

а₃² = a₁² + a₂²

(a₁ + 2d) '² = a₁² + (a₁ + d) ²

3d² + 2a₁d - a₁² = 0

D₁=a² + 3a² = 4a² = (2a) ²

d₁ = (-a₁ - 2a₁) / 3 = - a₁

d₂ = (-a₁ + 2a₁) / 3=1/3a₁

d=1/3a₁, a₂=a₁+1/3a=4/3a₁, a3=a₁+2/3 a₁=5/3a₁

Площадь:

S=1/2*a₁*a₂=1/2*a*4/3a

S=2/3a²

S=2/3*18²=216 (см²)

Ответ: 16 (см²).