Докажите, что среди шести любых чисел найдутся два, которые при делении на 5 дают одинаковый остаток.

При делении на 5 натуральные числа могут давать в остатке от деления числа 0, 1, 2, 3 и 4, то есть всего 5 возможностей. Очевидно, что если есть 6 натуральных чисел, то среди этих чисел обязательно найдутся по крайней мере два числа, которые дают одинаковый остаток при делении на 5. Предположим, два числа х и у дают одинаковый остаток при делении на 5. Следовательно эти числа можно записать в виде: х = 5*k + c; y = 5*l + c, где k и l - некоторые целые числа, с - остаток от деления чисел х и у на 5. Разность чисел х и у равна: х - у = 5*k + c - 5*l + c = 5 * (k - l). Следовательно, разность чисел х и у делится на 5.