Какое наибольшее количество чисел от 1700 до 2300 (крайние числа включительно) можно выбрать так, что сумма никаких двух из них не делится на 5?

От 1700 до 2300 включительно ровно 601 число.

Сумма делится на 5 в трех случаях:

1) Оба числа делятся на 5;

2) Одно имеет остаток 1, другое 4;

3) Одно имеет остаток 2, другое 3.

Можно взять 120 чисел с остатком 1 (от 1701 до 2296),

еще 120 чисел с остатком 2 (от 1702 до 2297).

Сумма двух будет иметь остаток 2, 3, или 4.

И еще 1 число с остатком 0, например, 1800. Больше нельзя.

Всего 241 число.