Найдите значение выражения sqrt (1+2016^2 + (2016/2017) ^2) + 2016/2017

Обозначим x = 2016. Вычислим sqrt (1+x^2 + (x / (x + 1)) ^2) + x / (x + 1).

Рассмотрим подкоренное выражение:

1 + x^2 + (x / (x + 1)) ^2 = (1 + 2x + x^2) - 2x + (x / (x + 1)) ^2 = (x + 1) ^2 - 2x + (x / (x + 1)) ^2 = ...

Заметим, что 2x = 2 * (x + 1) * x / (x + 1), поэтому имеем полный квадрат:

... = (x + 1 - x / (x + 1)) ^2

Тогда всё выражение равно |x + 1 - x / (x + 1) | + x / (x + 1).

При x > 0 выражение под знаком модуля положительно, и модуль можно раскрыть:

x + 1 - x / (x + 1) + x / (x + 1) = x + 1.

Итак, при x > 0 верно следующее:

sqrt (1+x^2 + (x / (x + 1)) ^2) + x / (x + 1) = x + 1.

Подстановка x = 2016 сразу даёт ответ.

Ответ. 2017.