При каких значениях переменных х и у, связанных соотношением х+у=1, выражение 4x^2+2xy-4y^2 принимает наибольшее значение? Чему равно это значение?

Из условия х + у = 1 выразим х = 1 - у и подставим в выражение 4x^2+2xy-4y^2.

Получаем 4 (1 - у) ² + 2 (1 - у) * у - 4 у² = 4 (1 - 2 у + у²) + 2 у - 2 у² - 4 у² =

= 4 - 8 у + 4 у² + 2 у - 6 у² = - 2 у² - 6 у + 4.

Производная полученного выражения равна - 4 у - 6.

Для нахождения максимума приравниваем производную нулю:

-4 у - 6 = 0,

у = 6/-4 = - 3/2.

х = 1 - (-3/2) = 5/2.

Подставим полученные значения переменных в заданное выражение:

4 * (25/4) + 2 * (5/2) * (-3/2) - 4 * (9/4) = 25 - (15/2) - 9 = 17/2.