По кругу стоит 2007 клеток. В каждой сидят серые и белые мыши, и на каждой клетке верно написано, сколько в ней мышей каждого цвета. Из каждой клетки по одной мышке перебежало в соседнюю по часовой стрелке клетку. Обязательно ли найдется клетка, оба числа на которой остались верными?

Да. Чтоб равенство оставалось правильным, нужно, чтоб одинаковое кол-во мышей одного цвета убежало и столько же прибежало. При 2007 клетках выбегают 2007 мышей. Всего 2 цвета, поэтому кол-во каких-то мышей определенного цвета будет больше. Поэтому какая та лишняя мышка обязательно "скомпенсирует" потерю мышки того же цвета какой-то клетки. Если было бы четное число, то прибегали и убегали мышки разных цветов, т. к их одинаковое кол-во и, соответственно, все числа бы были неверны (не всегда, конечно, но и на 100% не гарантированно)