По кругу записано n целых чисел, сумма которых равна 14. Известно, что любое из записанных чисел равно модулю разности двух чисел, следующих за ним. Найдите все возможные значения n

Ответ: n=3 или n=21.

Из условия следует, что все записанные числа неотрицательны. Пусть a - наибольшее из этих чисел (если таких несколько, то выберем любое из них) ; b, c, d и e - числа, следующие за ним по кругу. По условию a=|b-c|, что возможно, только если одно из чисел b или c равно a, а другое равно нулю. Если b=a, c=0, то d=e=a и так далее. Если же b=0, c=a, то d=a, e=0 и так далее. Таким образом, записанные числа таковы: a, a, 0, a, a, 0, ..., a, a, 0. Их сумма равна 2ma, где m - количество нулей. Из равенства 2ma=14 следует, что ma=7, то есть либо m=7, a=1, либо m=1, a=7. Следовательно, n=21 или n=3.