Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 2017 можно выбрать так чтобы сумма любых трех из них делилась на 3 нацело

Допустим, это могут быть только числа, делящиеся на 3. Таких чисел в заданном диапазоне 672 = (2016 / 3). Очевидно, любая сумма этих чисел делится на 3.

Однако, мы можем взять еще больший диапазон, если возьмем набор чисел, выражающихся формулой 3 х+1. Сумма трех таких чисел равна

3 х+1+3y+1+3z+1 = 3 (x+y+z+1) и делится на 3. Таким чисел всего будет 673, так как 1 и 2017 подходят под эту формулу

Правильный ответ: 673

Если мы берем хоть одно число с остатком 1 при делении на 3, то мы должны взять только такие числа, потому что:

1) если берем еще число кратное 3, то должны взять число с остатком 2

тогда, если в двойки чисел: (с остатком 1, кратно 3) и (с остатком 2, кратно 3) надо взять числа с разными остатками, поэтому мы не сможем выполнить условие, чтобы сумма в любых тройках была кратна 3

2) аналогично, если берем число с остатком 2, то получаем такую же ситуацию

чисел с остатком 1: 673

если мы берем хоть одно число с остатком 2 при делении на 3, то мы должны взять только такие числа, аналогично предыдущему случаю

чисел с остатком 2: 672

если берем все числа кратные трем, то получаем 672 числа

Наибольшее количество: 673, если взять все числа, которые дают остаток 1 при делении на 3

Ответ: 673