Запишите уравнение касательной прямой к графику функции у=8√х - 7, что проходит через точку (1; 3) и пересекает график функции z=x^2 + 4 х-1

Уравнение касательной: у (кас) = y' (xo) * (x - xo) + y (xo), где хо - абсцисса точки касания, y' (xo) - производная функции в точке касания.

Производная функции равна: y' = 4/√x, а точке касания y' (xo) = 4/√хо.

Вместо переменных х и у подставляем координаты точки (1; 3).

(4/√xo) * (1 - xo) + 8√xo - 7 = 3.

Приводим к общему знаменателю:

4 - 4xo + 8 хо - 7√xo = 3√xo.

4 + 4xo = 10√xo или, сократив на 2:

2 + 2 хо = 5√xo. Возведём в квадрат обе части уравнения:

4 + 8 хо + 4 хо² = 25 хо.

Получили квадратное уравнение:

4 хо² - 17 хо + 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно xо: Ищем дискриминант:

D = (-17) ^2-4*4*4=289-4*4*4=289-16*4=289-64=225; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

xо_1 = (√225 - (-17)) / (2*4) = (15 - (-17)) / (2*4) = (15+17) / (2*4) = 32 / (2*4) = 32/8=4; xо_2 = (-√225 - (-17)) / (2*4) = (-15 - (-17)) / (2*4) = (-15+17) / (2*4) = 2 / (2*4) = 2/8=1/4.

То есть имеем 2 точки касания х = 4 и х = 1/4.

Отсюда получаем 2 касательные:

у (кас) = 2 х + 1 и у = 8 х - 5.

Но вторая прямая не пересекает заданную по условию параболу, а только касается её, поэтому ответ: у (кас) = 2 х + 1.