Как доказать тригонометрическое тождество?

При доказательстве любых тождеств, и в частности тригонометрических, обычно используют следующие способы:

1) выражение, стоящее и одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства; 2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду; 3) доказывают, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю. Поясним это на некоторых частных примерах. Пример 1. Доказать тождество sin4α - cos4α = sin 2 α - cos2 α. Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем:sin4α - cos4α = (sin2α + cos2α) (sin2 α - cos2α). Ho sin2α + cos2α = 1. Поэтомуsin4α - cos4α = sin2α - cos2α, что и требовалось доказать. Пример 2. Доказать тождествоЭто тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части. Способ 1. Поэтому Способ 2. Прежде всего заметим, что ctg α = / = 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1 / ctg α. Но если ctg α = / = 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α, не изменяя значения дроби. Следовательно, Используя тождества tg α • ctg α = 1 и 1 + ctg2α = cosec 2 α, получаемПоэтому что и требовалось доказать. Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α) определена при всех значениях α, а правая - лишь при α = / = π / 2 n. Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу. Пример 3. Доказать тождество sin (3/2 π + α) + cos (π - α) = cos (2π + α) - 3sin (π / 2 - α) Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения: sin (3/2 π + α) + cos (π - α) = - cos α - cos α = - 2 cos α; cos (2π + α) - 3sin (π / 2 - α) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α. Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано. Пример 4. Доказать тождествоsin4 α + cos4 α - 1 = - 2 sin2α cos2α. Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю. Имеем: (sin4 α + cos4 α - 1) - (- 2 sin2α cos2α) = (sin4 α + 2sin2 α cos2α + cos4 α) - 1 = = (sin2α + cos2α) 2 - 1 = 1 - 1 = 0. Тем самым тождество доказано. Пример 5. Доказать тождествоЭто тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a/b = c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 - sin α) (1 + sin α) = cos α • cos α. Действительно, (1 - sin α) (1 + sin α) = 1 - sin2α = cos2α. По поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к примеру 2.