Найти линии уровня поверхности z=1 / (x^2+y^2). Найти градиент в точке М (1; 0). Показать, что он перпендикулярен соответствующей линии уровня.

через точку М (1; 0) проходит линия уровня вида z0=1 / (x^2+y^2)

при подстановке х=1 у=0 получаем z0=1 / (1^2+0^2) = 1

через точку М (1; 0) проходит линия уровня 1=1 / (x^2+y^2) или x^2+y^2 = 1 - окружность с центром в начале координат и радиусом 1

найдем уравнение касательной в точке

дифференциал

2xdx+2ydy = 0

при подстановке х=1 у=0 получаем

2*1*dx+2*0*dy = 0

dx = 0

х = const = 1 - уравнение касательной

единичный вектор касательной имеет вид A = (0,1)

найдем градиент

dz/dx = d/dx (1 / (x^2+y^2)) = - 1 / (x^2+y^2) ^2 d/dx (x^2+y^2) = - 2x / (x^2+y^2) ^2

dz/dу = d/dу (1 / (x^2+y^2)) = - 1 / (x^2+y^2) ^2 d/dу (x^2+y^2) = - 2 у / (x^2+y^2) ^2

при подстановке х=1 у=0 получаем

grad (z) = G = (-2; 0)

скалярное произведение векторов А и G

AG = 0 * (-2) + 1*0=0 - значит вектор касательной к линии уровня в точке М (1; 0) (а значит и сама линия уровня, проходящая через точку М (1; 0)) перпендикулярен к вектору градиента в точке М (1; 0)