14) найдите сумму целых значений а, при которых функция возрастает для всех значений x

15) решить неравенство >0

23) сколько нулей имеет функция:, на отрезке [0; 3π]?

27) вычислите sin (2arctg2)

14. y' = 3x^2 - 6 (a + 2) x + 3 = 3 (x^2 - 2 (a + 2) x + 1) должно быть больше нуля для всех, это выполнится, если дискриминант трехчлена, стоящего в скобах, будет меньше нуля.

D/4 = (a + 2) ^2 - 1 < 0

-1 < a + 2 < 1

-3 < a < - 1

Сумма = - 2

15. Т. к. корень - величина неотрицательная, решение - все точки, для которых 2 - x - x^2 > 0 (тогда корень существует и не равен нулю) и x + 5 > 0.

Для всех точек решения первого неравенства (-2, 1) второе неравенство выполняется.

Ответ. (-2, 1)

23. Количество нулей (без учета кратностей) такое же, как и у функции g = sin (2x + pi/4). При изменении x: 0 - > 3pi аргумент синуса изменяется на 6pi, т. е. на 3 периода. Т. к. x = 0 и x = 3pi - не нули, то всего нулей в 3 раза больше, чем на одном периоде. Ну, а как известно, на [0, 2pi) синус обнуляется 2 раза.

Ответ. 6

27. Пусть tg x = 2, 0 < x < pi/2. Необходимо найти sin (2x).

Найдем сначала cos^2 (x), sin^2 (x).

Т. к. 1 + tg^2 (x) = 1/cos^2 (x), то cos^2 (x) = 1 / (1 + 2^2) = 1/5 и sin^2 (x) = 1 - 1/5 = 4/5.

sin^2 (2x) = 4sin^2 (x) cos^2 (x) = 16/25

Т. к. sin (2x) > 0 при 0 < x < pi/2, то sin (2x) = + sqrt (16/25) = 4/5