Дипломами городской олимпиады наградили 10 семиклассников. Может ли оказаться, что среди любых трех награжденных есть ровно одна пара одноклассников?

Решение обязательно

Я думаю что может, если их десять, то будут три пары, 2*3=6 человек, 10-6=4 это две пары уже без награды

Не может.

пронумеруем награжденных 1 - 10.

допустим, что 1-й и 2-й учатся в школе №1.

тогда все остальные должны учиться не в школе №1 ...

пусть 3-й учится в школе №2.

тогда если рассмотреть тройку награжденных 1-3-4, то 4-й должен учиться как и 3-й в школе №2.

поэтому все другие ученики должны учиться не в школе №2.

рассмотрим 5-го.

он не должен учиться ни в школе №1, ни в школе №2.

пусть 5-й учится в школе №3.

тогда если взять тройку 1-3-5, то все учатся в разных школах.

пришли к противоречию.