Задача Найдите наименьшее натуральное число N такое, что число N + 15 делится на 22, а число N + 22 делится на 15

Обозначим число N.

Нам известно:

N+15 = 22*k; N = 22*k-15 = 22 (k-1) + 22-15 = 22 (k-1) + 7

N+22 = 15*m; N = 15*m-22 = 15 (m-2) + 30-22 = 15 (m-2) + 8.

Число N делится на 22 с остатком 7 и на 15 с остатком 8.

Так как N делится на чётное число 22 с нечетным остатком 7, то оно нечетное.

Рассмотрим число N-8=15 (m-2)

N-8, также как и N, нечетное.

Если оно делится на 15 и при этом нечетное, то оно кончается на 5.

Тогда N кончается на 5+8=13, то есть на 3.

А число N-7 кончается на 13-7=6.

Итак, N-7=22 (k-1), кончается на 6. Тогда k-1 кончается на 6/2=3.

Наименьшее число, кончающееся на 3, это и есть 3.

k-1=3; N-7=22 (k-1) = 22*3=66.

N-8=66-1=65 - не делится на 15, поэтому не подходит.

Следующее число, кончающееся на 3, это 13.

k-1=13; N-7=22*13=286.

N-8=286-1=285=15*19 - делится на 15, поэтому подходит.

N = 285+8 = 293.

Проверка.

N+15 = 308 = 22*14

N+22 = 315 = 15*21

Все правильно.