Показать справедливость неравенства sinx+tgx>2x (x€ (0; pi/2))

1) У нас этот факт доказывался в школьном учебнике при выводе "первого замечательного предела". Рассуждение было геометрическое. Брался угол величиной xx радиан в первой координатной четверти. Площадь сектора единичной окружности при этом равна 12 x 12 x. Этот сектор содержится в прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен 1 (горизонтальный), а второй равен tg x tg x (вертикальный). Его площадб равна 12 tg x 12 tg x. Отсюда из сравнения площадей следует неравенство x< tg x x< tg x, то есть xcosx
2) Надо рассмотреть производную функции: y′ = 5a x2 - 60x+5 (a+9) y′ = 5a x2 - 60x+5 (a+9) и потребовать, чтобы она нигде не была отрицательной. Ясно, что a>0 a>0, и тогда у квадратного трёхчлена a x2 - 12x+a+9 a x2 - 12x+a+9 должен быть дискриминант D≤0 D≤0. Это значит, что a2 + 9a-36≥0 a2 + 9a-36≥0, откуда a∈ (-∞; -12]∪[3; +∞) a∈ (-∞; -12]∪[3; +∞). С учётом положительности aa имеем a∈[3; +∞) a∈[3; +∞).