В правильном тетраэдре abcd (все грани одинаковой длины) точка е - середина ребра cd. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE.

Примем систему координат для тетраэдра:

- основание АВС, вершина Д, её проекция на основание - точка О, проекция на основание точки Е - точка Е1.

- ребро АС - по оси Оу,

- вершина А - в начале координат.

- длина ребра - 1.

Теперь определим координаты точек.

Высота тетраэдра Н = √ (1² - ((2/3) * (1*√3/2)) ²) = √ (1 - (1/3)) = √ (2/3).

Точка Е имеет высоту в 2 раза меньше - (1/2) * (√ (2/3)).

Высота основания h = 1*cos 30° = √3/2.

В ((√3/2) ; 0,5; 0),

С (0; 1; 0). Вектор ВС ((-√3/2) ; 0,5; 0).

А (0; 0; 0),

Расстояние точки О от оси Оу равно (1/3) h = √3/6. а точки Е1 - в 2 раза меньше - √3/12.

Е (√3/12; 0,75; (√ (2/3)) / 2). Вектор АЕ (√3/12; 0,75; (√ (2/3)) / 2).

Косинус угла между векторами равен дроби, в числителе которой скалярное произведение векторов, в знаменателе - произведение их модулей.

Найдем скалярное произведение векторов:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz = (-0.86603) * 0.144338 + 0.5 * 0.75 + 0 * 0,408248 = - 0,125+0,375+0 = 0,25 = 1/4.

|a| = √ (ax² + ay ² + az 2) = √ ((-0.86603) ² + (0.5) ² + 0²) = √ (0.7500079609 + 0.25 + 0) = √1.00000 = 1.

|b| = √ (bx² + by ² + bz ²) = √ (0.144338) ² + (0.75) ² + (0.408248) ² =

= √0.020833458244 + 0.5625 + 0.166666429504 = √0.75 = √3/2.

Найдем угол между векторами:

cos α = (a * b) / (|a|*|b|).

cos α = (1/4) / (1 * (√3/2) = 1 / (2√3) = √3/6 ≈ 0,2886728.