Помогите решить sinx + ((3/2) (1-cosx)) ^1/2=0

Дано тригонометрическое уравнение sin x + √ ((3/2) (1-cos x)) = 0.

Такая сумма, равная нулю, возможна в двух вариантах:

1) оба слагаемых равны нулю,

2) sin x должен быть отрицательным, так корень √ ((3/2) (1-cos x)) - величина положительная.

Перенесём один из слагаемых вправо и возведём обе части уравнения в квадрат.

sin ² x = ((3/2) (1-cos x)), приведём к общему знаменателю и заменим sin²x на 1-cos² x:

2cos² x - 3cos x + 1 = 0. Сделаем замену: cos x = y.

Получаем квадратное уравнение 2 у² - 3 у + 1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:

D = (-3) ^2-4*2*1=9-4*2=9-8=1; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1 = (√1 - (-3)) / (2*2) = (1 - (-3)) / (2*2) = (1+3) / (2*2) = 4 / (2*2) = 4/4=1; y_2 = (-√1 - (-3)) / (2*2) = (-1 - (-3)) / (2*2) = (-1+3) / (2*2) = 2 / (2*2) = 2/4=0,5.

Имеем 2 корня: cos x = 1 и cos x = (1/2).

С учётом ОДЗ ответ:

х₁ = 2πn, n ∈ Z.

x₂ = - (π/3) + 2πn, n ∈ Z.