Гаджи заметил что если из числа вычесть сумму его цифр то получится число кратное 9. докажите этот факт.

Это всё легко:

Возьмем любое число и и каждую цифру заменим буквой. (Будем далее считать что n - количество цифр в этом числе)

abcd ... mvk (это всё одно число) тогда это число можно приставить как сумму произведений цифры этого числа на первое число его разряда (десятки на 10, сотни на 100 и тд) a*10^n+b*10^ (n-1) ... v*10+n

Теперь вычтем из этого числа сумму его чисел (a+b+c + ... + v+n)

999999 (n девяток) а+99999 (n-1 девяток) ... + 9v. Я думаю понятно что это делится на 9 так как можно вынести общий множитель 9