Доказать что дробь вида n / (2n^2+1) превращается в чистую периодическую десятичную дробь

Предположим что данная дробь является конечной, тогда тк любое конечное положительное рациональное число рациональное число представимо в виде выражения:

N/10^k тогда верно что:

n/2n^2+1=N/10^k

n*10^k/2n^2 + 1=N

число n не имеет с числом 2n^2+1 общих простых делителей.

Действительно тк число 2n^2 cодержит в себе все простые делители числа n, то число 2n^2+1 не содержит всех этих делителей, тк это число будет давать на все эти делители остаток 1, тк 1-это наименьшее число из всех простых делителей. Число 10^k содержит делители 2^m и 5^p p, m-натуральные числа (p<=k m<=k)

делитель 2^m четный, а число 2n^2+1 всегда нечетно, то делитель 2^m у них быть общим не может. Если у числа 2n^2+1 есть общий делитель 5^p, то оно либо оканчивается на цифру 0 или цифру 5. Проанализируем все варианты: число n может кончаться на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

тогда число 2n^2+1 может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть это число не может иметь делитель 5^p.

Таким образом числитель и знаменатель дроби n*10^k/2n^2+1 не имеют общих делителей, тогда эта дробь несократима, а тк из равенства

n*10^k/2n^2+1=N то несократимая дробь равна натуральному числу, а такое невозможно, то есть мы пришли к противоречию, значит эта дробь бесконечно периодическая при любом n. Теперь самое трудное. Необходимо доказать, что эта дробь чисто периодическая (без примесей)

Любое чисто периодическое число меньшее 1 (как и наше при любом n)

представимо в виде: N / (10^k - 1) где k-длинна его периода N cам этот период без нулей в начале, если таковые присутствуют. (Надеюсь понятно)

Положим теперь что наша дробь смешанная, тогда верно что

n/2n^2+1=N/10^s + M