1. tg x=√3

2. cos4x-cosx=0

3. sin²x+2cosx+2=0

4. sinx+cosx=0

1. (cos2x+sin²x) / sin2x=0,5*ctgx;

(cos²x-sin²x+sin²x) / sin2x=cos²x/2*sinx*cosx=0,5 * (cosx/sinx) = 0,5*ctgx. - доказанно.

2. (1+sinx+cosx) / (1+sinx-cosx) = ctg (x/2) ;

(1+sin (π/2-x) + sinx) / (1+sinx-sin (π/2-x)) = (1+2*sin (π/4) * cos (π/4-x)) / (1+2*sin (x-π/4) * cos (π/4)) = (1+√2*cos (π/4-x)) / (1+√2*sin (π/4-x)) = ctg (x/2). - доказанно.

3. (cos3x+cos4x+cos5x) / (sin3x+sin4x+sin5x) = ((2*cos4x*cosx) + cos4x) / ((2*sin4x*cosx) + sin4x) = cos4x (2cosx+1) / sin4x (2cosx+1) = cos4x/sin4x=ctg4x - доказанно.

4. (1+2cosx+cos2x) / (cos2x-cos3x+cos4x) = (2cos²x+2cosx) / (2*cos3x*cosx-cos3x) = 2cosx (cosx+1) / cos3x (2cosx-1) = - дальше ума не приложу, как только не пробовал)) возможно, в условии ошибка у тебя?