Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градуса

Дано: Δ АВС - прямоугольный, ∠С=90°, ∠А=53°, ∠С=37°, СН - высота, СМ - медиана.

Найти ∠МСН.

Решение: Δ СМВ - равнобедренный, СМ=МВ, т. к. медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам. Значит, ∠МСВ=∠В=37°.

Тогда ∠СМВ=180-37-37=106°

∠СМН=180-106=74°

∠МСН=90-74=16°

Ответ: 16°

Угол α между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен разности острых углов треугольника.

α = 53° - 37° = 16°.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника между собой и подобных данному. Из подобия треугольников АВС и НСВ следует: ∠В = ∠НСА.

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузе. Значит треугольник МАС - равнобедренный.

Отсюда следует ∠АСМ = ∠А, ∠АСН = ∠В.

α = ∠В - ∠А.