Апофема правильной треугольной пирамиды равна 10 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого есть апофема=10, катет-высота пирамиды, второй катет это треть медианы (высоты) равностороннего треугольника в основе. Находим эту треть медианы (отрезок от центра до основы апофемы). Равно 10*cos60°=10*0,5=5. Или можно найти, зная, что напротив угла в 30° расположен катет в 2 раза меньше гипотенузы. Тогда медиана, она же высота, треугольника в основе равна 15.

По формуле а=h*2√3/3=15*2*√3/3=10√3.

Находим площадь треугольника в основе.

S=а²√3/4 = (10√3) ²√3/4=75√3

V=1/3*S*h

h находим из прямоугольного треугольника, о котором говорили выше.

h=10sin60°=10*√3/2=5√3

V=1/3*75√3*5√3=75*5=375