Доказать, что √5+3√2 ирациональное

Докажем методом от противного:

Пусть sqrt (5) + 3 * sqrt (2) = m / n, где m - целое число, n - натуральное число;

Возведем в квадрат: (sqrt (5) + 3 * sqrt (2)) ^2 = m^2 / n^2;

5 + 18 + 6 * sqrt (10) = m^2 / n^2;

sqrt (10) = m^2 / (6 * n^2) - 23 / 6;

Получается, что sqrt (10) тоже рациональное число. Пусть sqrt (10) = k / t; k / t - несократимая дробь.

Возведем в квадрат: 10 = k^2 / t^2; 10 * t^2 = k^2;

Получается, что k^2 делится на 10, значит и k делится на 10. Заменим k на 10 * r;

10 * t^2 = 100 * r^2;

t^2 = 10 * r^2; Аналогично отсюда следует, что t на цело делится на 10. Следовательно, у k и t есть общий множитель, что противоречит несократимости дроби. Значит, наше предположение неверно, и sqrt (5) + 3 * sqrt (2) - иррациональное число.