1. Сумма двух чисел равна 480. Если у первого числа зачеркнуть последнюю цифру, то получится второе число, деленное на 7. Найдите эти числа.

2. Известно, что натуральное число а при делении на 11 дает остаток 7. найдите остаток при делении на 11 числа а^2 + 5a + 1.

3. На прямой отметили несколько точек. Между каждыми соседними точками вставили по три точки. Получили новую систему точек, состоящую из "старых" и "новых" точек. С новой системой проделали ещё раз ту же процедуру. Сколько точек было в начале, если в результате получилось 2017 точек?

4. Найдите наибольшее возможное значения выражения 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2. При каких значениях переменных оно достигается?

1) Сумма чисел равна 480

x+y=480

Если у 1 числа зачеркнуть посл. цифру, то получится 2 число, деленное на 7.

x=10*a+b; a=y/7; y=7*a

x+y=10*a+b+7*a=17*a+b=480.

То есть это результат деления 480 на 17 с остатком.

480=17*28+4

а=28; b=4; x=284; y=28*7=196

x+y=284+196=480.

2) a=11*k+7

a^2+5a+1 = (11k+7) ^2+5 (11k+7) + 1=

121k^2+2*7*11k+49+55k+35+1=

11 * (11k^2+14k+5k) + 85=11n+77+8

Буквой n я обозначил скобки.

77 тоже делится на 11.

Остаток равен 8.

3) Между каждой парой точек отметили ещё по 3 точки.

Было х точек, то есть (х-1) пар.

Добавили 3 (х-1) точек. Стало

x+3x-3=4x-3 точек, это 4x-4 пар.

Добавили ещё 3 (4x-4) точек.

Стало 4x-3+12x-12=16x-15=2017

x = (2017+15) / 16=2032/16=127

Сначала было 127 точек.

4) f=20x-4y+6z-2x^2-4y^2-3z^2-2=

- (2x^2-20x+4y^2+4y+3z^2-6z+2) =

-[2 (x^2-10x+25) - 50 + (4y^2+4y+1) - 1+

+3 (z^2-2z+1) - 3+2]=

-[2 (x-5) ^2 + (2y+1) ^2+3 (z-1) ^2-52]=

-[2 (x-5) ^2 + (2y+1) ^2+3 (z-1) ^2]+52

Максимальное значение 52 будет при x=5; y=-1/2; z=1.

При этом все три скобки = 0