С натуральным числом, записанным в десятичной системе, разрешается проделывать такие операции:

1) приписать на конце цифру 4

2) приписать на конце цифру 0

3) разделить на 2 (если число четно)

Можно ли из числа 4 получить 2007?

Какие нат. числа можно получить из числа 4?

Докажем по индукции, что если 1, 2, 3, ..., n можно получить, то и n + 1 можно получить.

База. 1, 2, 3, 4, 5 и 9 можно получить (4 - > 2 - > 1; 2 - > 24 - > 12 - > 6 - > 3; 1 - > 10 - > 5; 1 - > 14 - > 144 - > 72 - > 36 - > 18 - > 9).

Переход.

Покажем сначала, что можно из чисел, меньших нужного, получить любое число, кроме (быть может) оканчивающегося на 9:

x - > 10 x - > 5 x

2 x - > 20 x + 4 - > 10 x + 2 - > 5 x + 1

x - > 10 x + 4 - > 5 x + 2

4 x + 2 - > 40 x + 24 - > 20 x + 12 - > 10 x + 6 - > 5 x + 3

x - > 10 x + 4

Рассмотрим случай, когда нужно получить ... 9.

10 x + 9 < - 20 x + 18 < - 40 x + 36 < - 80 x + 72 < - 160 x + 144 < - 16 x + 14

16 x + 14 - четное число, поэтому не оканчивается на 3 или 9. Если оно не оканчивается на 6, то его можно получить из числа, которое меньше данного не менее чем в 2,5 раза. Но (16 x + 14) / 2.5 = 6.4 x + 5.6 < 10 x + 9.

Несложно проверить, что 16 x + 14 оканчивается на 6, если x дает остаток 2 при делении на 5. Пусть x = 5 k + 2, тогда

16 * (5 k + 2) + 14 = 80 k + 46 < - 160 x + 92 < - 320 x + 184 < - 32 x + 18 < 80k + 46, что и требовалось.

Ответ. а) да; б) любые.