Когда буратино врет, длина его носа увеличивается вдвое, а когда говорит правду,-увеличивается на 2 см. С утра длина носа Буратино была 1 см. За день он трижды соврал и трижды сказал правду. Какой наибольшей длины мог получиться нос у Буратино к концу дня.

Предположим, что последние k раз Буратино сказал правду (k > 0), а ровно перед ними - солгал и пусть до того, как он последний раз солгал, длина его носа была равна x см.

(если обозначать ложь, как Л, правду, как П, а часть с неизвестным порядком, как (?), то этот случай можно записать, как (?), Л, П, П, ..., П; Здесь буква П записана ровно k раз)

Тогда длина его носа стала бы 2 * x + 2 * k см.

Теперь сдвинем последнюю ложь буратино на место самой последней фразы.

(То есть теперь (?), П, П, ..., П, Л; Здесь буква П записана ровно k раз, (?) - в точности совпадает с предыдущим случаем)

Тогда длина его носа станет (x + 2 * k) * 2 = 2 * x + 4 * k > 2 * x + 2 * k

То есть, когда последний раз Буратино солгал дает большую прибавку к длине носа, чем когда Буратино сказал последний раз правду

Теперь за счет этих рассуждений получим, что нос будет длиннее, когда на 6 раз Буратино солгал. Рассмотрим последние 5 раз - опять по предыдущим рассуждениям нос длиннее, когда Буратино солгал на 5 раз. Аналогично и с 4 разом.

Отсюда самый длинный нос Буратино будет иметь, когда сначала скажет 3 раза правду, а затем 3 раза неправду. Тогда длина носа Буратино будет

(1 + 2 + 2 + 2) * 2 * 2 * 2 = 7 * 8 = 56 см

Ответ: 56 см.