Найдите все пары целых чисел, которые удовлетворяют условие уравнения: 3ab-b+3a=1008

Данное уравнение является Диофантовыми (уравнения в целых числах). Общая концепция решения:

Ах + Ву = С где А и В должны быть взаимно простыми (при условии что их нельзя сократить с С), иначе уравнение не имеет решений.

корни: х1 + Вn; y = y1 - An где х1 и у1 - подобранная пара чисел

Решая более сложные диофантовые ур-ия удобно раскладывать на множители

3 аb - b + 3a = 1008

3a (b + 1) - (b + 1) = 1007

(3a - 1) (b + 1) = 1007

Разложим 1007 на множители:

если оно имеет множители кроме 1 и себя то их можно найти перебрав числа от 1 до ближайшего квадрата и разделив на них.

1024 = 32²

1, 2, 3, 5 нет

7, 13 по призн. делимости нет

17 точно нет

19: 1007/19 = 53

так как 19 и 53 простые числа значит других множителей нет.

Итак: 3 а - 1 = 1 b + 1 = 1007

3 а - 1 = 1007 b + 1 = 1

3 а - 1 = 19 b + 1 = 53

3 а - 1 = 53 b + 1 = 19

то же с минусами.

3a = ±2 b = ±1006

3a = ±1008 b = 0

3a = ±20 b = ±52

3a = ±54 b = ±18

a = ±2/3 (не подходит)

а = ±336 b = 0

a = ±20/3 (не подходит)

а = ±18 b = ±18

Ответ: (±336; 0) ; (18; 18) ; (-18; - 18).