Вариант 23. Дано: А (-10; 4), В (-5; 6), С (0; 8). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ. Самостоятельная работа по теме

А) Составим уравнение стороны АВ в виде канонического уравнения прямой:

Вектор АВ (5-6=1, 5-1=4) = АВ (1,4)

Составляем каноническое уравнение прямой с направляющим вектором АВ проходящей через точку А:

(x - 6) / 1 = (y - 1) / 4

b) Уравнение высоты АH. Составим общее уравнение прямой АН, используя ортогональный вектор ВС.

Вектор ВС (2-5=-3, 10-5=5) = BC (-3, 5)

тогда уравнение прямой будет выглядеть так:

-3x + 5y + d = 0

чтобы найти постоянную d подставим в уравнение координаты точки А:

-3*6 + 5*1 + d = 0

-13 + d = 0

d = 13

Итого уравнение прямой AH:

-3x + 5y + 13 = 0

c) Уравнение медианы BM

найдем точку M - середину отрезка АС:

x = (6 + 2) / 2 = 4

y = (1 + 10) / 2 = 5.5

Итого М (4, 5.5)

Вектор ВМ (4-5=1, 5.5-5=0.5) = ВМ (1, 0.5)

Каноническое уравнение прямой ВМ:

(x - 5) / 1 = (y - 5) / 0.5

d) Точка пересечения АН и ВМ

Преобразуем уравнение ВМ к общему виду:

x - 5 = (y - 5) / 1/2 = 2y - 10

x - 2y + 5 = 0

Далее решая систему:

-3x + 5y + 13 = 0

x - 2y + 5 = 0

получим координаты точки пересечения.

Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к первому:

-3x + 3x + 5y - 6y + 13 + 15 = - y + 28 = 0

y = 28

Подставим у = 28 во второе уравнение:

x - 56 + 5 = 0

x = 51

Итого, точка пересечения медианы BM и высоты AH:

D (51, 28)