Будем называть натуральное число интересным, если все его цифры, кроме первой и последней, меньше среднего арифметического двух соседних цифр. Найдите наибольшее интересное число.

Решение

Пусть a1a2 ... ak - десятичная запись числа, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр. Тогда

a1 - a2 > a2 - a3 > ... > ak-1 - ak. Если бы первые четыре разности a1 - a2, a2 - a3, a3 - a4, a4 - a5 были положительными, то разность

a1 - a5 = (a1 - a2) + (a2 - a3) + (a3 - a4) + (a4 - a5) была бы не меньше 4 + 3 + 2 + 1 = 10, что невозможно. Следовательно, только три разности a1 - a2, a2 - a3,

a3 - a4 могут быть положительными. Аналогичным образом, только три разности ak-3 - ak-2, ak-2 - ak-1, ak-1 - ak могут быть отрицательными. Кроме этого, еще одна разность между соседними цифрами может равняться 0.

Сказанное выше означает, что в числе не более 8 цифр (не более 3 + 3 + 1 = 7 разностей между соседними цифрами). Чтобы сделать искомое восьмизначное число максимальным, нужно положить a1 = 9 и выбрать разности ai - ai+1 минимально возможными (с тем условием, чтобы среди разностей были 3 положительных, 3 отрицательных и одна нулевая) : a1 - a2 = 3, a2 - a3 = 2, a3 - a4 = 1, a4 - a5 = 0, a5 - a6 = - 1, a6 - a7 = - 2, a7 - a8 = - 3.