10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно, что среди них есть школьники которые решили ровно одну задачу, школьники, которые решили две задачи, и школьники, которые решили ровно три задачи. Докажите, что есть школьник который решил не меньше пяти задач.

Представим, что по минимуму 1 человек решил одну задачу, 2 человека решили по 2 задачи (написано "школьники") 1+2*2=5 задач. Максимум 7 школьников решили по 3 задачи 3*7=21. Итого: 5+21=26 задач. 35-26=9 задач осталось раздать тем ученикам, что решили по 3. 9-7=2 задачи осталось раздать тем ученикам, что уже решили по 4 задачи. Значит, минимум 2 человека решили по 5 задач

Возьмём хотя бы по одному школьнику который решили

1, 2, 3 задачи

1+2+3=6 задач было решено ними

35-6=29

3+1 (школьник которого используем в уравнениях) = 4 школьника

10-4=6 школьников

Прогоняем все варианты

1) (29-1) / 6=4.8, значит как минимум 4 ученика решило все 5 задач

2) (29-2) / 6=4.5, значит как минимум 3 ученика решило все 5 задач

3) (29-3) / 6=4.3, значит как минимум 2 ученика решило все 5 задач

4) (29-4) / 6=4.1, значит как минимум 1 ученик решил все 5 задач