Доказать, что при любом натуральном n n^4+3n^3-n^2-3n делится на 6

Число делится на 6, когда оно делится на 2 и на 3.

n⁴ + 3n³ - n² - 3n = n (n³ + 3n² - n - 3) = n (n + 3) (n + 1) (n - 1)

Полученное произведение включает в себя три последовательных натуральных числа:

(n - 1) * n * (n + 1)

Из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно и все произведение будет кратно трем.

Из этих же трех последовательных натуральных чисел, как минимум, одно будет четным, следовательно и все произведение будет четным, т. е. кратным двум, независимо от величины (n + 3).

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно трем и, одновременно, кратно двум при любом натуральном n, следовательно, оно делится на 6, что и требовалось доказать.

P. S. Для случая минимального натурального n = 1 все выражение обращается в нуль. Так как при делении нуля на любое (не обязательно натуральное) число получается нуль (целое число), то можно утверждать, что нуль кратен любому числу, в том числе и шести.