1) может ли наименьшее общее двух чисел равняться

Существует ли такая тройка натуральных чисел, что любые два из них имеют общий делитель, больший единицы, но общим делителем для всех трёх чисел является только 1?

Задача 2: Можно ли монетами в 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?

Решение: Нельзя, так как 1999 не кратно НОД (14,35).

Задача 3: В банк можно положить за один раз 120 руб. или снять 300 руб. У кого-то есть 1000 руб. Какую наибольшую сумму кто-то может положить в банк за несколько раз?

Решение: 960. Оценка получается из делимости. Снять и положить можно только числа, делящиеся на 60 (120 = 60 * 2, 300 = 60 * 5), максимальное число, меньшее 1000 и делящееся на 60 - это 960. Пример: кладём 3 раза по 300, снимаем 2 раза по 120 и кладём 300.

Задача 4: a = 2³ • 3¹º • 5 • 7², b = 25 • 3 • 11. Чему равен НОД (a, b) ?

Решение: НОД - это общая часть разложений.

Задача 5: a = 28 • 5³ • 7, b = 25 • 3 • 57. Чему равен?

Решение: НОК - это объединение разложений.

Задача 6: Про натуральные числа a и b известно, что 15a = 14b и что НОД (a, b) = 13. Найдите a и b.

Задача 7: Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство

Задача 8: Докажите, что если a и b - натуральные числа (a > b), то НОД (a, b) = НОД (a - b, b)

Задача 9: Может ли наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равняться их сумме?

Решение: Пусть такие числа x и y существуют. делится на x и на y. Тогда x + y делится на x и на y, значит, x делится на y и y делится на x, поэтому x = y. Но тогда, что противоречит предположению.

Задача 10: Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел равняться их сумме?

Решение: Да, например, 6 = 1 + 2 + 3.

Задача 11: НОД двух натуральных чисел в восемь раз меньше, чем их НОК. Докажите, что одно из этих чисел делится на другое.

Задача 12: Даны 6 натуральных чисел. Могут ли среди их попарных НОДов встречаться все натуральные числа от 1 до 15?

Решение: Нет. Так как какие-то числа имеют НОДы, равные 7 и 14, то есть не менее трёх чисел, кратных 7. Но тогда существует третий НОД, кратный 7, а среди чисел от 1 до 15 такого нет. (Аналогичное рассуждение проходит по делимости на 2).

Задача 13: Разность двух нечётных чисел является степенью двойки. Докажите, что они взаимно просты.

Решение: НОД (a, b) = НОД (a, a - b) = НОД (a, 2k).

Задача 14: Известно, что (n - 1) ! + 1 делится на n. Докажите, что число n - простое.

Решение: Если n - составное, то (n - 1) ! делится на n.

Задача 15: В результате некоторой перестановки цифр число уменьшилось в три раза. Докажите, что исходное число делилось на 27.

Задача 16: Найдите все такие натуральные a, что число а) ; б) ; в) - тоже целое.