Сколько раз встречается единица в записи суммы 9+99 + ... + 99 ... 9.{2013}

Как видно, все числа этой суммы (9,99,999 ...) это 10^n - 1. Всего таких чисел 2013. Добавим к каждому из этих чисел по единице. У нас получится выражение 10+100+1000 + ... + 10 ... 0{2014}.

Сложив все эти числа у нас получится число, состоящее из 2013 единиц и одного нуля (111111 ... 11110). Чтобы вернуться к исходной сумме (9+99+999 ...) отнимем от получившегося числа 2013 единиц, которые мы прибавляли до этого. При вычитании 2013 из нашего числа (11111 ... 11110) изменятся только последние 5 цифр (11111 ... 11110-2013). Как видим, среди этих пяти цифр 4 единицы и 1 ноль. Но после вычитания все эти 5 цифр не будут равны 1 (11110-2013=09097; 0 ≠1, 9 ≠1, 7 ≠1). Т. е. конечное число будет содержать 2013 единиц - 4 единицы = 2009 единиц.