Задать вопрос
21 января, 00:00

Среднее гармоническое, геометрическое и арифметическое различных натуральных чисел a < b являются натуральными числами. Найдите минимально возможное b. (Напомним, что среднее гармоническое чисел a и b - - это число, обратное к среднему арифметическому чисел 1/a и 1/b.)

+5
Ответы (1)
  1. 21 января, 00:49
    0
    По условию (a + b) / 2, sqrt (ab) и 2ab / (a + b) - натуральные числа.

    Пусть у a и b наибольший общий делитель d, a = Ad, b = Bd, A и B взаимно просты.

    Среднее геометрическое равно d * sqrt (AB). Чтобы оно было натуральным числом, A и B должны быть полными квадратами.

    Среднее гармоническое равно 2d * AB / (A + B). Чтобы оно было натуральным числом, 2d должно делиться на A + B, поскольку у A + B нет общих делителей ни с A, ни с B.

    В случае, когда A = 1^2, B = 2^2, A + B = 5, d > = 5. Во всех остальных случаях 2d > = A + B > = 1^2 + 3^2 = 10, опять-таки d > = 5.

    Если d = 5, то числа равны 5A и 5B. Чтобы среднее арифметическое 5 (A + B) / 2 было натуральным числом, A и B должны быть одинаковой чётности, поэтому b > = 5 * 3^2 = 45. Проверкой убеждаемся, что a = 5, b = 45 - подходит под условие.

    Попробуем найти меньшие b при d > 5. Если dB = 6 и B - полный квадрат, то B < 45/6, B < = 7.

    Учитывая, что B не может быть равно 1^2, получаем, что B = 2^2 = 4, A = 1^2 = 1.

    2d должно делиться на A + B = 5, d > 5.

    Если d = 10, получаем решение a = 10, b = 40.

    Если d > = 15, то b > = 60 > 45, уже не интересует.

    Ответ. 40.
Знаете ответ на вопрос?
Не уверены в ответе?
Правильный ответ на вопрос 👍 «Среднее гармоническое, геометрическое и арифметическое различных натуральных чисел a < b являются натуральными числами. Найдите минимально ...» по предмету 📗 Математика. Развернутая система поиска нашего сайта обязательно приведёт вас к нужной информации. Как вариант - оцените ответы на похожие вопросы. Но если вдруг и это не помогло - задавайте свой вопрос знающим оппонентам, которые быстро дадут на него ответ!
Искать готовые ответы
Похожие вопросы по математике
Среднее гармоническое, квадратичное и арифметическое различных натуральных чисел являются натуральными числами. Найдите минимально возможное.
Ответы (1)
Запиши число, обратное дроби 5 8 Ответ: Какие утверждения верные? данное число меньше, чем обратное число обратное число - неправильная дробь обратное число больше 1 данное число больше, чем обратное число обратное число меньше 1 обратное число -
Ответы (1)
Запиши число, обратное дроби 2/11 Какие утверждения верные? обратное число - правильная дробь обратное число больше, чем исходная дробь обратное число - неправильная дробь исходная дробь больше, чем обратное число обратное число больше 1 обратное
Ответы (1)
Запиши число, обратное дроби 13 3 Ответ: Какие утверждения верные? обратное число меньше 1 обратное число - неправильная дробь обратное число меньше, чем данное число данное число - неправильная дробь обратное число больше, чем данное число данное
Ответы (2)
1. Среднее арифметическое двух чисел 1,6 а среднее арифметическое пяти других чисел 2,02. Найдите среднее арифметическое всех семи чисел. 2. Среднее арифметическое трех чисел 1,7 а среднее арифметическое четырех других чисел 2,05.
Ответы (1)