Укажите уравнение, которое задает геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух точек А (-1; 2) и В (-5; 6).

Пусть (x, y) - точка, принадлежащая указанному ГМТ.

Тогда квадрат расстояния от неё до точки A равен:

(x + 1) ^2 + (y - 2) ^2 = x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5

Квадрат расстояния до точки B:

(x + 5) ^2 + (y - 6) ^2 = x^2 + 10x + y^2 - 12y + 61

По условию, расстояния должны быть равны, тогда и квадраты расстояний тоже равны, и можно записать равенство

x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5 = x^2 + 10x + y^2 - 12y + 61

8y = 8x + 56

y = x + 7

Итак, все точки, принадлежащие ГМТ, лежат на прямой y = x + 7. Осталось проверить, что любая точка этой прямой принаждежит ГМТ. Берём точку (x, x + 7) и проверяем, что квадраты расстояний до точек A и B равны:

(x + 1) ^2 + (x + 7 - 2) ^2 = (x + 5) ^2 + (x + 7 - 6) ^2

(x + 1) ^2 + (x + 5) ^2 = (x + 5) ^2 + (x + 1) ^2 - верно.

Ответ. y = x + 7.