В квадрате 140 * 140 закрашено несколько клеток. В каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных клеток, а в каждом столбце есть либо 3, либо 4 закрашенных клетки. Какое наименьшее число клеток может быть закрашено?

Если в каждом столбце по 3 закрашенных клетки, то всего 3*140=420 закрашенных клеток.

Если в каждом столбце по 4 закрашенных клетки, то всего 4*140=560 закрашенных клеток.

Значит, количество клеток 420 < = N < = 560.

Пусть будет a столбцов по 4 клетки и b столбцов по 3 клетки.

4a + 3b = N

a + b = 140; b = 140 - a

А по строкам пусть x строк по 7 клеток и y строк по 1 клетке.

7x + y = N

x + y = 140; y = 140 - x

Получаем такое уравнение с 2 неизвестными:

4a + 3 (140 - a) = 7x + 140 - x = N - - > min

4a + 420 - 3a = 6x + 140

a + 280 = 6x

Наименьшее решение:

x = 47, потому что 47*6 = 282 - наименьшее кратное 6, больше 280

Тогда а = 2, b = 140 - 2 = 138; y = 140 - 47 = 93.

N = 4a + 3b = 4*2 + 3*138 = 7x + y = 7*47 + 93 = 422

Закрашено всего 422 клетки, это 47 строки по 7 и 93 строк по 1 клетке, или 2 столбца по 4 и 138 столбцов по 3 клетки.