Может ли сумма 44 натуральных чисел быть в 4 раза больше, чем их произведение?

Если среди этих чисел могут быть одинаковые, то можно: возьмем 41 единицу и 2, 2, 3. Тогда сумма равна 1 + ... + 1+2+2+3=48, а произведение 1 * ... * 1*2*2*3=12, при этом 48=4*12.

Если числа различные, то такое невозможно. Вначале докажем, что сумма любых чисел больших или равных 2 не превосходит их произведения. Пусть S (k) - сумма k чисел, каждое из которых не меньше 2, а P (k) - их произведение. Заметим, что P (k) ≥2. Сделаем индукцию по количеству слагаемых. S (1) = P (1). Предположим, что выполнено S (k) ≤P (k). Тогда, если b - это k+1-ое число, то S (k+1) = S (k) + b≤P (k) + b≤P (k) * b=P (k+1). Здесь неравенство P (k) + b≤P (k) * b верно, т. к. его можно переписать в виде (P (k) - 1) (b-1) ≥1, что выполняется при P (k) ≥2 и b≥2. Теперь, если среди наших 44 чисел имеется только одна единица (а это так, если числа различны), то получаем 1+S (43) ≤1+P (43) <4*1*P (43)), т. е. сумма всех чисел строго меньше чем четырехкратное их произведение. Значит равенства быть не может.